Stefan Banach gilt als der herausragendste polnische Mathematiker der Geschichte und als einer der größten Mathematiker des 20. Jahrhunderts. In der Referenzdatenbank „Zentralblatt für Mathematik“, die in den letzten 150 Jahren weltweit erschienene mathematische Werke abdeckt, taucht Banachs Name in den Titeln am häufigsten auf – über 27.000 Mal.
Er wurde am 30. März 1892 in Krakau als uneheliches Kind von Katarzyna Banach und Stefan Greczek geboren. Seine Mutter arbeitete als Dienstmädchen und sein Vater diente in der Armee – die österreichischen Behörden erlaubten ihm nicht zu heiraten. Der kleine Stefan wurde von Franciszka Płowa, einer Wäschereibesitzerin in Krakau, großgezogen, die ihn zusammen mit ihrer Nichte Maria Puchalska bis zu seiner Reifeprüfung betreute. Von 1902 bis 1910 besuchte Banach das 4. Gymnasium in Krakau in der Podwale-Straße (gegründet 1901 als eigenständige Zweigstelle des 1. St.-Anna-Gymnasiums). Obwohl er mathematisch begabt war, kam er nach dem Schulabschluss zu dem Schluss, dass es in der Mathematik nicht viel Neues zu erreichen gab, und entschied sich für ein Studium an einer technischen Universität. Da es in Krakau keine solche Schule gab, ging er nach Lemberg, wo er 1914 an der dortigen technischen Universität das sogenannte Halbdiplom erwarb. Im selben Jahr brach der Erste Weltkrieg aus und Banach kehrte nach Krakau zurück. Dort besuchte er informell ausgewählte Vorlesungen an der Jagiellonen-Universität und lernte die mathematische Literatur kennen. Die meiste Zeit verbrachte er damit, mit seinen Freunden über Mathematik zu diskutieren: Otto Nikodym (1887–1974) und Witold Wilkosz (1891–1941), die beide später bedeutende Mathematiker wurden.
Im Jahr 1916 hielt sich Hugo Steinhaus (1887-1972), der zuvor in Göttingen Mathematik studiert und dort 1911 promoviert hatte, in Krakau auf. Viel später wurde er für seine bemerkenswerten wissenschaftlichen Leistungen und hervorragenden populärwissenschaftlichen Bücher berühmt und war außerdem Autor berühmter witziger Aphorismen, die im Słownik racjonalny (dem Rationalen Wörterbuch) veröffentlicht wurden. An einem Sommerabend machte Steinhaus einen Spaziergang im Planty-Park. Plötzlich hörte er die Worte „Lebesgue-Integral“. In seinen Memoiren schrieb er, dass diese Worte „so unerwartet kamen, dass ich mich der Richterbank näherte und die Streitparteien kennenlernte: Es waren Stefan Banach und Otto Nikodym, die über Mathematik diskutierten“. Der Begriff „Lebesgue-Integral“, heute einer der Grundbegriffe der höheren Mathematik, war damals praktisch nur Fachleuten bekannt. Steinhaus mischte sich in das Gespräch ein und erwähnte ein Problem, an dem er gerade gearbeitet hatte. Und als Banach ihm einige Tage später die Lösung des besprochenen Problems präsentierte, wurde Steinhaus klar, dass er es mit einem außergewöhnlichen mathematischen Talent zu tun hatte. Später sagte er, seine größte Entdeckung sei die Entdeckung von Banach gewesen.
Im Herbst 1917 verließ Steinhaus Krakau, wo Banach seine berufliche Tätigkeit entfaltete. Er gehörte zu den Gründungsmitgliedern der Mathematischen Gesellschaft in Krakau, die später in Polskie Towarzystwo Matematyczne (Polnische Mathematische Gesellschaft) umgewandelt wurde, und hielt auf deren Tagungen Vorträge. 1920 zog er nach Lemberg und wurde auf Fürsprache von Steinhaus am Polytechnikum Lemberg als Assistent von Antoni Łomnicki (1881–1941) angestellt. Ebenfalls 1920 heiratete Banach Łucja Braus (1897–1954).
Im Juni 1920 präsentierte er seine Doktorarbeit an der Jan-Kazimierz-Universität in Lemberg, deren Gutachter Hugo Steinhaus und Eustachy Żyliński (1889-1954) waren. Im November und Dezember 1920 bestand Banach die gesetzlich vorgeschriebenen Prüfungen und im Januar 1921 wurde er zum Doktor befördert. Seine Arbeit O operacjach w zbiorach abstrakcyjnych z zastosowaniami do równań całkowych (Über Operationen in abstrakten Mengen mit Anwendungen auf Integralgleichungen), die 1922 in französischer Sprache in der Zeitschrift „Fundamenta Mathematicae“ veröffentlicht wurde, lieferte Ergebnisse von außerordentlicher Bedeutung. In der Arbeit definierte der Autor die Räume, die später „Banach-Räume“ genannt wurden.
Gegenstand der höheren Mathematik sind in erster Linie bestimmte allgemeine Strukturen. Banachräume erwiesen sich in gewisser Hinsicht als ideal – sie verallgemeinerten alle bisher betrachteten relevanten Funktionsräume hinreichend. Die Schlüsselidee bestand darin, eine Reihe relevanter Eigenschaften auszuwählen. Unabhängig von Banach lieferte gleichzeitig der bedeutende amerikanische Mathematiker Norbert Wiener eine analoge Definition, die die Frage jedoch aufgab. Ein weiteres interessantes Ergebnis in Banachs Dissertation war der Fixpunktsatz. Es beweist zum Beispiel, dass, wenn wir eine Karte von Polen irgendwo in Polen platzieren, sich genau ein Punkt davon an dem Ort befindet, auf dem sie abgebildet ist.
1922 erlangte Banach seine Habilitation (Postdoktorwürde) an der Jan-Kazimierz-Universität in Lemberg und wurde dort zum Professor ernannt; Ihm wurde der Vorsitz der Zweiten Fakultät für Mathematik anvertraut. Ebenfalls im Jahr 1922 wurde sein Sohn Stefan jr. (1922-1999) geboren. Im Jahr 1924 wurde Banach korrespondierendes Mitglied der Polska Akademia Umiejętności (der Polnischen Akademie der Künste und Wissenschaften). Das akademische Jahr 1924/1925 verbrachte er als Stipendiat der Rockefeller Foundation in Frankreich. 1927 wurde er zum ordentlichen Professor an der Jan-Kazimierz-Universität ernannt. Die Arbeiten von Banach und seinen Mitarbeitern führten zur Entstehung eines neuen Zweigs der Mathematik – der Funktionalanalysis. Insbesondere wurden Ende der 1920er Jahre drei bedeutende Theoreme entwickelt, die heute als Banach-Steinhaus-Theorem, Hahn-Banach-Theorem und Banachs Theorem eines geschlossenen Graphen bekannt sind.
Die berühmte Mathematikschule in Lemberg war unter dem starken Einfluss von Banach tätig. Es gibt Legenden über die einzigartige Atmosphäre unter den Mathematikern der Schule. Eine sehr wichtige Rolle spielten ihre Treffen im Scottish Café, bei denen sie über Mathematik diskutierten, Probleme formulierten und diese auf Marmortischplatten notierten. Die Probleme (für deren Lösung einige Preise ausgelobt wurden) wurden in einem speziellen Notizbuch namens „Scottish Book“ niedergeschrieben. Banach liebte die Atmosphäre des Cafés und er arbeitete in dieser Umgebung sehr gut.
Diejenigen, die Banach kannten, behaupteten, dass er nur einen Teil seiner mathematischen Leistungen veröffentlichte, weil ihm ständig neue Ideen einfielen; er sprudelte sogar vor Ideen. Neben seiner konzeptionellen Tätigkeit engagierte er sich aktiv in der Lehre, als Dozent an Universität und Fachhochschule. 1930 wurde ihm der Wissenschaftspreis der Stadt Lemberg verliehen. Darüber hinaus verfasste er Schul- und Universitätslehrbücher.
1928 gründeten Banach und Steinhaus in Lemberg eine mathematische Zeitschrift, in der sie vor allem wissenschaftliche Arbeiten zur Funktionalanalysis veröffentlichten: „Studia Mathematica“. Die volle Kraft und Stärke des neuen Zweigs der Mathematik zeigte sich in den späten 1920er und frühen 1930er Jahren, nachdem Banach 1931 die oben genannten Theoreme und seine Monographie Operacje liniowe (Lineare Operationen) veröffentlichte. Ein Jahr später wurde das Buch auf Französisch veröffentlicht und die mathematische Welt erkannte die Bedeutung der Leistungen des Autors, insbesondere der Banach-Räume. Dies bewies unter anderem seine Einladung, auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1936 in Oslo einen Plenarvortrag zu halten. Solche Kongresse finden alle vier Jahre statt, es handelt sich um die bedeutendsten mathematischen Konferenzen der Welt, und die Einladung, dort Vorträge zu halten, gilt als große Ehre. Banachs Monographie blieb über ein Vierteljahrhundert lang das relevanteste Lehrbuch der Funktionalanalysis.
1939 wurde Banach zum Präsidenten der Polskie Towarzystwo Matematyczne gewählt und im Juni desselben Jahres erhielt er von der Polska Akademia Umiejętności einen prestigeträchtigen Preis. Nach der Annexion Lembergs durch die Sowjetunion arbeiteten die dortigen Mathematiker weiterhin an der Universität, die in Iwan-Franko-Universität umbenannt wurde, und Banach wurde Dekan der Fakultät für Physik und Mathematik. Er wurde außerdem Mitglied der Akademie der Wissenschaften der Ukrainischen Sozialistischen Sowjetrepublik. 1941, nach dem Einmarsch der deutschen Wehrmacht in Lemberg, wurde die Universität jedoch geschlossen. Banach lebte unter sehr schwierigen Bedingungen und arbeitete unter anderem als Läusefütterer am Weigl-Institut. Als sich nach dem Zweiten Weltkrieg herausstellte, dass Lemberg außerhalb der polnischen Grenzen liegen würde, beabsichtigte Banach, nach Krakau zurückzukehren und den Lehrstuhl an der eigens für ihn geschaffenen Jagiellonen-Universität anzunehmen. Leider gelang ihm die Abreise nicht – er starb am 31. August 1945 PFAS.
Zum 100. Jahrestag des berühmten Gesprächs wurde die Bank mit Figuren von Banach und Nikodym im Planty-Park in Krakau aufgestellt. Der Name Stefan Banach wurde beispielsweise dem Hauptpreis der Polnischen Mathematischen Gesellschaft und der seit 1992 von der Polska Akademia Nauk (der Polnischen Akademie der Wissenschaften) und dem Międzynarodowe Centrum Matematyczne (dem Internationalen Mathematischen Zentrum) in Warschau verliehenen Medaille verliehen . Heutzutage sind zahlreiche wichtige Theoreme nach ihm benannt, und Banachräume werden immer noch von Mathematikern untersucht – ihnen ist es zu verdanken, dass Banachs Name so häufig in den Titeln wissenschaftlicher Arbeiten auftaucht.
